Question

9．若F是拋物線y²=4x的焦點，點P_i（i=1，2，3，…，10）在拋物線上，且$\overrightarrow{{P_1}F}+\overrightarrow{{P_2}F}+…+\overrightarrow{{P_{100}}F}=\overrightarrow 0$，則$|\overrightarrow{{P_1}F|}+\overrightarrow{|{P_2}F}|+…+\overrightarrow{|{P_{100}}F}|$=200．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的定義得拋物線上的點到焦點的距離等于該點到準線的距離，因此求出拋物線的準線方程，結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計算，即可得到本題答案．

解答 解：∵拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），準線為x=-1，
∴根據(jù)拋物線的定義，P_i（i=1，2，3，…，2015）到焦點的距離等于P_i到準線的距離，即|P_iF|=x_i+1，
$\overrightarrow{{P_1}F}+\overrightarrow{{P_2}F}+…+\overrightarrow{{P_{100}}F}=\overrightarrow 0$，可得1-x₁+1-x₂+…+1-x₁₀₀=0，
∴x₁+x₂+…+x₁₀₀=100
∴|P₁F|+|P₂F|+…|P₁₀₀F|=（x₁+1）+（x₂+1）+…+（x₁₀₀+1）=（x₁+x₂+…+x₁₀₀）+100=100+100=200．
故答案為：200．

點評 本題考查了拋物線的定義、標準方程和簡單幾何性質(zhì)，考查向量等知識，屬于中檔題．