Question

已知橢圓橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．定義圓心在原點(diǎn)O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（

2

，0），其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l₁，l₂分別交其“準(zhǔn)圓”于另一點(diǎn)M，N．求證：|MN|為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)得到a的值，結(jié)合c的值求出b的值，則橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程可求；
（Ⅱ）由橢圓的“準(zhǔn)圓”與y軸的交點(diǎn)作為P點(diǎn)入手，分析得到|MN|的長(zhǎng)為4，然后分過(guò)動(dòng)點(diǎn)P的直線l₁，l₂的斜率一條不存在和兩條直線的斜率都存在兩種情況討論，當(dāng)其中一條直線的斜率不存在時(shí)，分析得到另一條的斜率等于0，說(shuō)明過(guò)點(diǎn)P的兩條直線互相垂直，當(dāng)斜率都存在時(shí)，寫出直線方程的點(diǎn)斜式，和橢圓方程聯(lián)立后由根與系數(shù)關(guān)系得到兩直線的斜率之積等于-1，也說(shuō)明兩直線垂直，所以得到結(jié)論M，N位于準(zhǔn)圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)上，即|MN|為定值4．

解答：解：（Ⅰ）∵c=

2

，短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為

3

．
∴a=

3

，∴b=1．∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1，
準(zhǔn)圓的半徑為

( 3 )2+12

=2，
∴準(zhǔn)圓方程為x²+y²=4．
（Ⅱ）（1）因?yàn)闇?zhǔn)圓x²+y²=4與y軸正半軸的交點(diǎn)為P（0，2），
設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，2）且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=kx+2，
所以由

y=kx+2 x2 3 +y2=1

消去y，得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
因?yàn)闄E圓與y=kx+2只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以△=144k²-4×9（1+3k²）=0，解得k=±1．
所以l₁，l₂方程為y=x+2，y=-x+2．
則l₁，l₂與準(zhǔn)圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為準(zhǔn)圓與x軸的左右交點(diǎn)，|MN|=4．
（2）①當(dāng)l₁，l₂中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)l₁無(wú)斜率，
因?yàn)閘₁與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為x=±

3

，
當(dāng)l₁方程為x=

3

時(shí)，此時(shí)l₁與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)(

3

，1)，(

3

，-1)，
此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(

3

，1)（或(

3

，-1)）且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是y=1（或y=-1），
即l₂為y=1（或y=-1），顯然直線l₁，l₂垂直；
同理可得l₁方程為x=-

3

時(shí)，直線l₁，l₂垂直．
②當(dāng)l₁，l₂都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），其中x02+y02=4．
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀）與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=t（x-x₀）+y₀，
則

y=tx+(y0-tx0) x2 3 +y2=1

，消去y得，(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0．
由△=0化簡(jiǎn)整理得：(3-x02)t2+2x0y0t+1-y02=0．
因?yàn)?span id="h099u5x" class="MathJye">x02+y02=4，所以有(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0．
設(shè)l₁，l₂的斜率分別為t₁，t₂，因?yàn)閘₁，l₂與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以t₁，t₂滿足上述方程(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0，
所以t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．
綜合①②知：因?yàn)閘₁，l₂經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀），又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M，N，且l₁，l₂垂直，
所以線段MN為準(zhǔn)圓x²+y²=4的直徑，所以|MN|=4．
綜（1）、（2），|MN|為定值4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，是新定義題，考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．第（Ⅱ）問(wèn)學(xué)生不容易找到解題的方向．有些同學(xué)會(huì)忘記對(duì)斜率的討論，對(duì)學(xué)生的方程思想要求比較高．屬難題．