Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=1，BC=

2

，AB=

3

，M是棱B₁C₁的中點，N是對角線AB₁的中點．
（1）求證：CN⊥平面BNM；
（2）求三棱錐M-BCN的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間向量及應用

分析：（1）運用坐標系

CN

=（

2

2

，

1

2

，

1

2

），

BM

=（-

2

2

，1，0），

BN

=（-

2

2

，

1

2

，

1

2

），得出

CN

•

BM

=0，

CN

•

BN

=0，可證垂直．
（2））運用向量求出|

CN

|=1，|

BM

|=

6

2

，|

BN

|=1，cos∠MBN=

1

1× 6 2

=

6

3

，S_△MBN面積，可得出體積．

解答： 證明：（1）
建立坐標系，以CB為x軸，以CC₁為y軸，以CA為z軸，
∵AA₁=AC=1，BC=

2

，AB=

3

，M是棱B₁C₁的中點，N是對角線AB₁的中點．
∴C（0，0，0），A（0，0，1），B₁（

2

，1，0），C（0，1，0），B（

2

，0，0），N（

2

2

，

1

2

，

1

2

），M（

2

2

，1，0），
∴

CN

=（

2

2

，

1

2

，

1

2

），

BM

=（-

2

2

，1，0），

BN

=（-

2

2

，

1

2

，

1

2

），
∴

CN

•

BM

=0，

CN

•

BN

=0，
∴

CN

⊥

BM

，

CN

⊥

BN

，
∵BM∩BN=B
∴CN⊥平面BNM；
（2）|

CN

|=1，|

BM

|=

6

2

，|

BN

|=1，cos∠MBN=

1

1× 6 2

=

6

3

，
∴sin∠MBN=

3

3

S_△MBN=

1

2

×1×

6

2

×

3

3

=

2

4

，
∴三棱錐M-BCN的體積為：

1

3

×

2

4

×1=

2

12

．

點評：本題考查了運用空間向量求解結合體的體積，面積，垂直問題，屬于中檔題，難度不是很大，但是容易計算出錯．