Question

已知函數(shù)f（x）=

2

cos(2x-

π

4

)，x∈[-

π

8

，

π

2

]
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

8

，

π

2

]上的最小值和最大值，并求出取得最值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（1）x∈[-

π

8

，

π

2

]⇒2x-

π

4

∈[-

π

2

，

3π

4

]，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）=

2

cos（2x-

π

4

）的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用（1）f（x）=

2

cos（2x-

π

4

）在區(qū)間[-

π

8

，

π

8

]上為增函數(shù)，在區(qū)間[

π

8

，

π

2

]上為減函數(shù)，即可求得其最小值和最大值及取得最值時(shí)x的值．

解答：解：（1）∵f（x）=

2

cos（2x-

π

4

），x∈[-

π

8

，

π

2

]，
∴2x-

π

4

∈[-

π

2

，

3π

4

]，
由-

π

2

≤2x-

π

4

≤0得：-

π

8

≤x≤

π

8

，
∴當(dāng)x∈[-

π

8

，

π

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

8

，

π

8

]；
由0≤2x-

π

4

≤

3π

4

得，

π

8

≤x≤

π

2

，
∴當(dāng)x∈[-

π

8

，

π

2

]時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[

π

8

，

π

2

]；
（2）∵f（x）=

2

cos（2x-

π

4

）在區(qū)間[-

π

8

，

π

8

]上為增函數(shù)，在區(qū)間[

π

8

，

π

2

]上為減函數(shù)，
又f(-

π

8

)=0，
f(

π

8

)=

2

，
f(

π

2

)=

2

cos(π-

π

4

)=-

2

cos

π

4

=-1，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

8

，

π

2

]上的最大值為

2

，此時(shí)x=

π

8

，最小值為-1，此時(shí)x=

π

2

．

點(diǎn)評：本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查余弦函數(shù)的定義域和值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．