Question

【題目】已知函數(shù)的圖象與直線相切.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）函數(shù)，，若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）由，設(shè)切點(diǎn)為， 根據(jù)條件可得，，兩式聯(lián)立可得，設(shè)，討論出函數(shù)的單調(diào)性，從而得出方程的根為，進(jìn)而求出參數(shù)的值.
（2）對任意的，恒成立,即，令，則原問題等價(jià)于，討論出函數(shù)的單調(diào)性，得出其最大值即可.

解：（1）設(shè)切點(diǎn)為，

所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為

又

消得，令，得，

當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，且，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.

則，所以.

（2）即

即即.

令，則原問題等價(jià)于

，

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，，所以存在，使得，

所以當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

由，得，即，所以

所以，

所以，故的取值范圍為.