Question

已知橢圓的離心率為，直線過(guò)點(diǎn)，，且與橢圓相切于點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、，使得?若存在，試求出直線的方程；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題得過(guò)兩點(diǎn)，直線的方程為.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060708355198929797/SYS201306070836385048857573_DA.files/image007.png">，所以，. 設(shè)橢圓方程為,  

由消去得，.又因?yàn)橹本�與橢圓相切,所以

，解得。所以橢圓方程為      

Ⅱ已知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.

由消去，整理得.  

由題意知，解得

設(shè)，，，則.    

又直線與橢圓相切，

由解得，所以   

則. 所以.

又

 所以，解得.經(jīng)檢驗(yàn)成立.

所以直線的方程為.  

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，探索直線方程是否存在．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．