Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n與通項a_n滿足Sn=

1

2

-

1

2

an．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

求T₂₀₁₂．

Answer 1

分析：（1）n=1時，a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，由此可得數(shù)列{a_n}是首項為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列，故可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由已知可得：f（a_n）=-n，則b_n=-

n(n+1)

2

，所以

1

bn

=-2（

1

n

-

1

n+1

）．利用疊加法可求T₂₀₁₂的值．

解答：解：（1）n=1時，a₁=S₁=

1

2

-

1

2

a₁，∴a₁=

1

3

（1分）
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

-

1

2

a_n-

1

2

+

1

2

a _n-1，∴a_n=

1

3

a_n-1，
即數(shù)列{a_n}是首項為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列                 （3分）
故a_n=（

1

3

）ⁿ                                           （4分）
（2）由已知可得：f（a_n）=-n，則b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=-1-2-…-n=-

n(n+1)

2

（5分）
∴

1

bn

=-2（

1

n

-

1

n+1

）                                （6分）
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=-2（1-

1

n+1

）
∴T₂₀₁₂=-

4024

2013

（10分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項與求和，確定數(shù)列的通項，掌握求和的方法是關(guān)鍵．