Question

19．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=$\frac{3}{2}{a}_{n}$-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）在數列{b_n}中，b₁=5，b_n+1=b_n+a_n，求數列{log₉（b_n-4）}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推公式、等比數列的前n項和公式即可得出．
（II）利用“累加求和”、等比數列與等差數列的前n項和公式、對數的運算性質即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=$\frac{3}{2}{a}_{n}$-1（n∈N^*），
∴當n=1時，a₁=$\frac{3}{2}{a}_{1}$-1，解得a₁=2．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$（\frac{3}{2}{a}_{n}-1）$-$（\frac{3}{2}{a}_{n-1}-1）$，化為：a_n=3a_n-1．
∴數列{a_n}是等比數列，首項為2，公比為3．
∴a_n=2•3^n-1．
（II）∵b_n+1=b_n+a_n，
∴b_n+1-b_n=2×3^n-1．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2×（3^n-2+3^n-3+…+3+1）+5
=2×$\frac{{3}^{n-1}-1}{3-1}$+5
=3^n-1+4．
∴l(xiāng)og₉（b_n-4）=$lo{g}_{9}{3}^{n-1}$=$\frac{n-1}{2}$．
∴數列{log₉（b_n-4）}的前n項和T_n=$\frac{n（\frac{n-1}{2}+0）}{2}$=$\frac{{n}^{2}-n}{4}$．

點評 本題考查了遞推關系的應用、“累加求和”、等比數列與等差數列的前n項和公式、對數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．