Question

用表示不大于的最大整數．令集合，對任意和，定義，集合，并將集合中的元素按照從小到大的順序排列，記為數列．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）求證：在數列中，不大于的項共有項．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知知

                       ．

        所以．                              ………………4分

（Ⅱ）因為數列是將集合中的元素按從小到大的順序排成而成，

所以我們可設計如下表格

m K	1	2	3	4	5	‥‥
1					‥‥		‥‥
2					‥‥
3				‥‥	‥‥
4				‥‥	‥‥
5				‥‥	‥‥

從上表可知，每一行從左到右數字逐漸增大，每一列從上到下數字逐漸增大．

且‥‥

所以 ．                             ………………8分

（Ⅲ）任取，，

若，則必有．

即在（Ⅱ）表格中不會有兩項的值相等．

對于而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有的數不大于，

則，即，所以，

同理，第二行共有的數不大于，有，

     第行共有的數不大于，有．

所以，在數列中，不大于的項共有項，即項．