Question

20．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿(mǎn)足f（x+4）=f（x）+f（2），且x∈（0，2）時(shí)，f（x）=lnx，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，4]上有9個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 先根據(jù)函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)得f（0）=0，再得出函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，由此可得f（1）=f（2）=f（3）=f（4）=0，共有9個(gè)零點(diǎn)．

解答 解：因?yàn)閒（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
所以f（0）=0，即圖象過(guò)原點(diǎn)，
所以有零點(diǎn)x=0，
又因?yàn)閒（x+4）=f（x）+f（2），
令x=-2得，
f（2）=f（-2）+f（2），
所以，f（-2）=0，
而f（-2）=f（-2+4）=f（2）=0，
所以有零點(diǎn)x=±2，如右圖，
且f（x+4）=f（x），函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）=lnx，單調(diào)遞增，有零點(diǎn)x=1，
所以，f（3）=f（-1）=-f（1）=0，f（4）=f（0）=0，
因此，當(dāng)x∈（0，4]時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)依次為：1，2，3，4，
再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，函數(shù)共有零點(diǎn)9個(gè)．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷，涉及分段函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性及其圖象，屬于中檔題．