Question

已知正四棱柱中，，為的中點，為直線上的動點，設(shè).

（Ⅰ）當(dāng)時，求與平面所成的角；

（Ⅱ）當(dāng)時，求二面角的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示）；

（Ⅲ）當(dāng)為何值時，有？

Answer 1

解：方法一：

（Ⅰ）當(dāng)時，由，得 

連結(jié)，則就是與平面所成的角

在中，，∴

∴與平面所成的角是       

（Ⅱ）當(dāng)時，     

在平面內(nèi)作，為垂足，連結(jié)，

則，∴就是二面角的平面角 

在中，，

在中，

∴二面角的大小   

（Ⅲ）連結(jié)，為在平面上的射影，要使，只要                                                     

過點在平面上作，垂足為，與的延長線交于

此時∽，∴，∴                       

∴當(dāng)時，                                          

方法二：

（Ⅰ）解：建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則

，則 

                   

當(dāng)時，，

設(shè)平面的法向量為，則 

設(shè)與的夾角為，則

∴與平面所成的角是                     

（Ⅱ）當(dāng)時，，，

設(shè)平面的法向量，則

∴                                  

∴

∴二面角的大小 

（Ⅲ）顯然，設(shè)，則

要使，只要，即，解得  

∴