Question

設(shè)函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若方程在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：當(dāng)時(shí)，．

 

Answer 1

（1）時(shí)，在上是增函數(shù)；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，首先明確定義域，再求導(dǎo)，由于含有參數(shù)，需分類討論根的情況. 時(shí)，，所以在上是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，由，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）本題考查函數(shù)與方程思想，實(shí)際研究直線與函數(shù)圖像交點(diǎn)有兩個(gè)的情況，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，方程有兩解．（3）本題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，首先將兩變量分離，這要用到取對(duì)數(shù)，即因此只需證，即證為單調(diào)減函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論，可證.

試題解析：（1）．

①時(shí)，，∴在上是增函數(shù)． 1分

②當(dāng)時(shí)，由，由，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 4分

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又， 6分

∴．

∴當(dāng)時(shí)，方程有兩解． 8分

（3）∵.∴要證：只需證

只需證：．

設(shè)， 10分

則．

由（1）知在單調(diào)遞減， 12分

∴，即是減函數(shù)，而．

∴，故原不等式成立． 14分

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)證不等式