Question

【題目】已知橢圓:的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線（不與軸重合）與橢圓相交于，兩點(diǎn)，直線：與軸相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為D.

（1）求四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍；

（2）證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，

【解析】

（1）由題意設(shè)直線AB的方程，代入橢圓整理得縱坐標(biāo)之和與之積，將四邊形的面積分成2個(gè)三角形，根據(jù)底相同，列出關(guān)于面積的函數(shù)式，再結(jié)合均值不等式可得面積的取值范圍；

（2）由（1）得B，D的坐標(biāo)，設(shè)直線BD 的方程，令縱坐標(biāo)為零得橫坐標(biāo)是定值，即直線BD過(guò)定點(diǎn)．

（1）由題F（1,0），設(shè)直線AB：，

聯(lián)立，消去x，得，

因?yàn)?/span>，，

則

所以四邊形OAHB的面積，

令

因?yàn)?/span>（當(dāng)且僅當(dāng)t=1即m=0時(shí)取等號(hào)），所以，

所以四邊形OAHB的面積取值范圍為；

（2），所以直線BD的斜率，所以直線BD的方程為，

令y=0，可得①

由（1）可得

化簡(jiǎn)①可得

則直線BD過(guò)定點(diǎn).