Question

已知函數(shù)．若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用參數(shù)分離做此題比較簡單，把a和含x的式子放在不等號的兩邊，最含x的式子，利用導數(shù)求其最值，即可得a的范圍．
解答：解：∵函數(shù)，且f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，
∴函數(shù)＜x²，
∴a＞xlnx-x³，令h（x）=xlnx-x³，只要求得h（x）的最大值即可，
h′（x）=lnx+1-3x²，h″（x）=，∵x＞1，∴1-6x²＜0，
∴h″（x）＜0，∴h′（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴h′_max（x）=h′（1）=-3＜0，
∴h′（x）在（1，+∞）小于0，
∴h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴h_max（x）=h（1）=-1＜0，∴a＞-1
又∵x≠1，∴a可以等于-1，
∴a≥-1．
故答案為：[-1，+∞）．
點評：此題主要考查了參數(shù)分離思想，這也是高考愛考的熱點問題，解此題時要注意函數(shù)的二次求導問題，此題是一道好題．