Question

16．已知{a_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為 S_n，且S_n為a_n與$\frac{1}{a_n}$的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求證：數(shù)列$\{S_n^{2}\}$為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{a_n}$，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件化簡(jiǎn)出${S}_{n}^{2}-{S}_{n-1}^{2}=1$，即可說(shuō)明$\{S_n^{2}\}$是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（Ⅱ） 求出$S_n^{2}=1+n-1=n$，通過(guò)a_n=S_n-S_n-1（n≥2求出通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）化簡(jiǎn)$_{n}=\frac{{（-1）}^{n}}{{a}_{n}}$，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分別求出前n項(xiàng)和即可．

解答 （本小題滿分12分）
（Ⅰ）由題意知$2{S_n}={a_n}+\frac{1}{a_n}$，即$2{S_n}{a_n}-{a_n}^2=1$，①----------------------（1分）
當(dāng)n=1時(shí)，由①式可得S₁=1；----------------------（2分）
又n≥2時(shí)，有a_n=S_n-S_n-1，代入①式得$2{S_n}（{S_n}-{S_{n-1}}）-{（{S_n}-{S_{n-1}}）^2}=1$
整理得${S}_{n}^{2}-{S}_{n-1}^{2}=1$．----------------------（3分）
∴$\{S_n^{2}\}$是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．----------------------（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得$S_n^{2}=1+n-1=n$，----------------------（5分）
∵{a_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)，∴${S_n}=\sqrt{n}$，----------------------（6分）
∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$（n≥2），----------------------（7分）
又${a_1}=S_1^{\;}=1$，∴${a_n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．----------------------（8分）
（Ⅲ）${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{a_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}}={（-1）^n}（{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}）$，----------------------（9分）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，${T_n}=-1+（\sqrt{2}+1）-（\sqrt{3}+\sqrt{2}）+…+（\sqrt{n-1}+\sqrt{n-2}）-（\sqrt{n}+\sqrt{n-1}）=-\sqrt{n}$
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，${T_n}=-1+（\sqrt{2}+1）-（\sqrt{3}+\sqrt{2}）+…-（\sqrt{n-1}+\sqrt{n-2}）+（\sqrt{n}+\sqrt{n-1}）=\sqrt{n}$
∴{b_n}的前n項(xiàng)和${T_n}={（-1）^n}\sqrt{n}$．----------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．