Question

已知a=()，b=(sinx，cosx)，f(x)=a·b，若m²-4n＞0，m，n∈R，求證:“|m|+|n|＜1”是“方程[f(x)]²+mf(x)+n=0在區(qū)間()內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根”的充分不必要條件．

Answer 1

解：因?yàn)閒(x)=sin(x+)，

x+∈()，

所以f(x)=t∈(-1，1)，且在()上是嚴(yán)格單調(diào)遞增的．

于是“方程[f(x)]²+mf(x)+n=0在區(qū)間()內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根”等價(jià)于“方程g(t)=t²+mt+n=0在區(qū)間(-1，1)內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根”．

所以“方程[f(x)]²+mf(x)+n=0在區(qū)間()內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)根”等價(jià)于

      

先證明充分性：由|m|+|n|＜1得

|m|＜1＜1，且1＞±m(xù)-n，

即g(±1)＞0．所以充分性成立．

再證不必要性：取m=1，n=，顯然滿足(*)，但

是|m|→|n|＜1不成立，

即得不必要性成立．

綜合以上得命題成立．