Question

設(shè)f（x）=x²+ax是R上的偶函數(shù)．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）用定義證明：f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：（I）由f（x）是偶函數(shù)，即f（-x）=f（x），求得a的值；
（Ⅱ）用定義證明f（x）的單調(diào)性，基本步驟是：取值，作差，判正負(fù)，下結(jié)論．

解答：解：（I）對任意的x∈R，-x∈R，
∴f（-x）=（-x）²+a（-x），
即f（-x）=x²-ax，
又f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
即x²-ax=x²+ax，
∴-a=a，即a=0；
（ II）由（I）知f（x）=x²，任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x12-x22=（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∵x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂
∴x₂+x₁＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用與單調(diào)性的判定問題，是基礎(chǔ)題．