Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且3a_n-1=2S_n，等差數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且b₅-b₃=2，T₄=10
（1）求{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若

b1

a1

-

b2

a2

+

b3

a3

-…-

b2n

a2n

＜c恒成立，求整數(shù)c的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n=3a_n-1，n≥2，3a₁-1=2S₁=2a₁，由此能求出a_n=3^n-1．由已知得

2d=2 4a1+6d=10

，由此能求出b_n=n．
（2）由已知得

1

1

-

2

3

+

3

32

-

4

33

+…+

2n

32n-1

＜c，設(shè)T_n=1+

2

-3

+

3

(-3)2

+

4

(-3)3

+…+

2n

(-3)2n-1

＜c，利用錯(cuò)位相減法能求出整數(shù)c的最小值．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且3a_n-1=2S_n，
∴3a_n-1-1=2S_n-1，n≥2
∴3a_n-3a_n-1=2a_n，即a_n=3a_n-1，n≥2
當(dāng)n=1時(shí)，3a₁-1=2S₁=2a₁，解得a₁=1，
∴{a_n}為首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n=3^n-1．
∵等差數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且b₅-b₃=2，T₄=1，
∴

2d=2 4a1+6d=10

，解得b₁=1，d=1，
∴b_n=1+（n-1）×1=n．
（2）∵

b1

a1

-

b2

a2

+

b3

a3

-…-

b2n

a2n

＜c恒成立，
∴

1

1

-

2

3

+

3

32

-

4

33

+…+

2n

32n-1

＜c，
設(shè)T_n=1+

2

-3

+

3

(-3)2

+

4

(-3)3

+…+

2n

(-3)2n-1

＜c，
-

1

3

Tn=

1

-3

+

2

(-3)2

+

3

(-3)3

+…+

2n

(-3)2n

，
兩式相減，得：

4

3

Tn=1+

1

-3

+

1

(-3)2

+

1

(-3)3

+…+

1

(-3)2n-1

-

2n

(-3)2n

=1+

(- 1 3 )[1-(- 1 3 )2n-1]

1-(- 1 3 )

-

2n

(-3)2n

=

3

4

+

1

4

(-

1

3

)2n-1-

2n

(-3)2n

，
∴T_n=

9

16

+

3

16

（-

1

3

）^2n-1-

3n

2•(-3)2n

＜c，
∵（T_n）_min=T₁=

9

16

+

3

16

×(-

1

3

)-

3

18

=

1

3

，
∴整數(shù)c的最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的整數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．