Question

已知正方體ABCD－中，面對角線A、B上分別有兩點E、F且E＝F求證：EF∥平面AC．

Answer 1

答案：
解析：

證法1：過E、F分別做AB、BC的垂線EM、FN交AB、BC于M、N，連接MN 　　∵B⊥平面AC　∴B⊥AB，B⊥BC 　　∴EM⊥AB，F(xiàn)N⊥BC 　　∴EM∥FN，∵A＝B，E＝F 　　∴AE＝BF又∠AB＝∠BC＝45° 　　∴RtΔAME≌RtΔBNF 　　∴EM＝FN 　　∴四邊形MNFE是平行四邊形 　　∴EF∥MN又MN平面AC 　　∴EF∥平面AC 　　證法2：過E作EG∥AB交B于G，連GF 　　∴＝ 　　∵E＝F，A＝B 　　∴＝　∴FG∥∥BC 　　又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B 　　∴平面EFG∥平面AC 　　又EF平面EFG 　　∴EF∥平面AC 　　解析：如圖，欲證EF∥平面AC，可證與平面AC內(nèi)的一條直線平行，也可以證明EF所在平面與平面AC平行．