Question

1．若函數(shù)f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． ?a∈R，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
• B． ?a∈R，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
• C． ?a∈R，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
• D． ?a∈R，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)

Answer 1

分析 由題意可得當(dāng)a=0時，f（x）=$\frac{1}{x}$，f（x）是奇函數(shù)，且函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，排除A，B；再根據(jù)當(dāng)a＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，故排除C，從而得出結(jié)論．

解答 解：對于函數(shù)f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$，當(dāng)a=0時，f（x）=$\frac{1}{x}$，此時，f（x）是奇函數(shù)，
且函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)a≠0時，函數(shù)f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$為非奇非偶函數(shù)，故排除A，B．
當(dāng)a＜0，在（0，+∞）上，f′（x）=2ax-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，故排除C，
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷和證明，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．