Question

17．如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD．當直線AB斜率為0時，|AB|+|CD|=5．
（1）求橢圓的方程；
（2）求由A，B，C，D四點構成的四邊形的面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關系和弦長AB，CD，解方程可得c，進而得到橢圓方程；
（2）討論①當兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，②當兩弦斜率均存在且不為0時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設出直線AB的方程，可得CD的方程，分別代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，再由四邊形的面積公式，結合基本不等式即可得到取值范圍．

解答 解：（1）由題意知，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，
∴AB+CD=2a+$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$c+$\frac{\sqrt{3}}{3}$c=5，
所以c=$\sqrt{3}$．所以橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．             
（2）①當兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，
由題意知S_四邊形=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}×4×1$=2；      
②當兩弦斜率均存在且不為0時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
且設直線AB的方程為y=k（x-$\sqrt{3}$），
則直線CD的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-$\sqrt{3}$）．
將直線AB的方程代入橢圓方程中，并整理得（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0，
所以AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$，
同理CD=$\frac{4（1+\frac{1}{{k}^{2}}）}{1+\frac{4}{{k}^{2}}}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$．             
所以S_四邊形=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$•$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+4{k}^{2}}$•$\frac{4（1+{k}^{2}）}{4+{k}^{2}}$=$\frac{8（1+{k}^{2}）^{2}}{4{k}^{4}+4+17{k}^{2}}$
=$\frac{8（k+\frac{1}{k}）^{2}}{4（k+\frac{1}{k}）^{2}+9}$=2-$\frac{18}{4（k+\frac{1}{k}）^{2}+9}$，
由4（k+$\frac{1}{k}$）²+9≥4（2$\sqrt{k•\frac{1}{k}}$）²+9=25，當且僅當k=±1時取等號．
∴S_四邊形∈[$\frac{32}{25}$，2），
綜合①與②可知，S_四邊形∈[$\frac{32}{25}$，2）．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，運用基本不等式，考查運算求解能力，屬于中檔題．