Question

11．已知數(shù)列{a_n}中，S_n=2ⁿ-1，則a${\;}_{1}^{2}$+a${\;}_{2}^{2}$+…+a${\;}_{n}^{2}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1計算可知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1，進而可知數(shù)列{a_n²}是以1為首項、4為公比的等比數(shù)列，計算即得結論．

解答 解：∵S_n=2ⁿ-1，
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）
=2^n-1，
又∵a₁=2-1=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1，
∴${{a}_{n}}^{2}$=4^n-1，即數(shù)列{a_n²}是以1為首項、4為公比的等比數(shù)列，
∴所求值為$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，
故答案為：$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．