Question

如圖已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E、F分別為棱BC、AD的中點(diǎn)。
（Ⅰ）若PD=1，求異面直線PB和DE所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角P-BF-C的余弦值為，求四棱錐P-ABCD 的體積。

Answer 1

解：（Ⅰ）E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點(diǎn)，ABCD是邊長為2的正方形 且為平行四邊形， 是PB與DE的所成角， 中，BF=，PF=，PB=3， 異面直線PB和DE所成角的余弦為； （Ⅱ）以D為原點(diǎn)，射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PD=a, 可得如下點(diǎn)的坐標(biāo)： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，則有：， 因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一個(gè)法向量為， 設(shè)平面PFB的一個(gè)法向量為， 則可得 即 令x=1，得， 所以， 由已知，二面角P-BF-C的余弦值為， 所以得：， 解得， 因?yàn)镻D是四棱錐P-ABCD的高，所以，其體積為。