Question

14．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，若a₇+3a₉＜0，a₈•a₉＜0，且數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n有最大值，那么當(dāng)S_n取得最小正值時，n=（　�。�

• A． 18
• B． 17
• C． 16
• D． 15

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合a₇+3a₉＜0，得a₈+a₉＜0，再由a₈•a₉＜0，可得a₈，a₉異號，而數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n有最大值，可知數(shù)列為遞減數(shù)列，由此可得S₁₅＞0，S₁₆＜0，則答案可求．

解答 解：在等差數(shù)列{a_n}中，由a₇+3a₉＜0，得2（a₈+a₉）＜0，即a₈+a₉＜0，
又a₈•a₉＜0，∴a₈，a₉異號，
由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n有最大值，可知數(shù)列為遞減數(shù)列，
則a₈＞0，a₉＜0，且|a₈|＜|a₉|，
∴S₁₅=15a₈＞0，${S}_{16}=\frac{16（{a}_{1}+{a}_{16}）}{2}=8（{a}_{8}+{a}_{9}）＜0$．
則當(dāng)S_n取得最小正值時，n=15．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．