Question

1．如圖在△ABC中，AB=5，cos∠ABC=$\frac{1}{5}$．
（I）若BC=4，求△ABC的面積；
（II）若D為AC邊的中點(diǎn)，且BD=$\frac{7}{2}$，求邊BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出sin∠ABC，代入三角形的面積公式計(jì)算；
（2）$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$），兩邊平方即可解出|BC|．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cos∠ABC=$\frac{1}{5}$．∴sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC•sin∠ABC$=$\frac{1}{2}×5×4×\frac{2\sqrt{6}}{5}$=4$\sqrt{6}$．
（Ⅱ）∵D為AC邊的中點(diǎn)，∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$），
∴${\overrightarrow{BD}}^{2}$=$\frac{1}{4}$（${\overrightarrow{BA}}^{2}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$），即：$\frac{49}{4}$=$\frac{1}{4}$（25+|BC|²+2|BC|）．
解得：|BC|=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的面積公式，向量在幾何在的應(yīng)用，屬于中檔題．