Question

空間四邊形ABCD中,AB=CD,AB與CD成30°角,E、F分別為BC、AD的中點(diǎn),求EF和AB所成的角.

Answer 1

思路分析:根據(jù)定義,找到兩異面直線所成的角是關(guān)鍵,而解決立體幾何問(wèn)題的基本思想是將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,由此可選取BC或AD的中點(diǎn).

圖2-1-13

解:如圖2-1-13所示,取BD的中點(diǎn)G,連結(jié)EG、FG.

∵E、F分別為BC、AD的中點(diǎn),

∴EGCD,GFAB.

∴EG與GF所成的角即為AB與CD所成的角.

∵AB=CD,∴△EFG為等腰三角形.

又AB、CD成30°角,EG、FG分別為△BCD、△DAB的中位線,

∴∠EGF=30°.

∵∠GFE就是EF與AB所成的角,

∴EF與AB成75°角.

  綠色通道:(1)求異面直線所成的角關(guān)鍵在于將異面直線平移成相交直線.

(2)構(gòu)造異面直線所成角的方法常有:①過(guò)其中一條直線上的已知點(diǎn)(往往是特殊點(diǎn)),作另一條直線的平行線,使異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角(空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題);

②當(dāng)異面直線依附于某幾何體,且直接對(duì)異面直線平移有困難時(shí),可利用該幾何體的特殊點(diǎn),將兩條異面直線分別平移相交于該點(diǎn);

③通過(guò)構(gòu)造輔助平面、輔助幾何體來(lái)平移直線.

(3)求兩異面直線所成的角的一般步驟:

①構(gòu)造:根據(jù)所成角的定義,用平移法作出異面直線所成的角;

②證明:證明作出的角就是要求的角;

③計(jì)算:求角值,常利用三角形;

④結(jié)論.

也可用“一作”“二證”“三求解”來(lái)概括.

  黑色陷阱:平移直線得出的角有可能是兩條異面直線所成角的補(bǔ)角,要注意識(shí)別這種情況.