Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x²（a為實常數(shù)）．
（Ⅰ）若a=-2，求證：函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將a=-2代入，然后求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），欲證函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)只需證導(dǎo)函數(shù)在（1，+∞）上恒大于零即可；
（Ⅱ）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后討論a研究函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最小的一個就是最小值．
解答：解：（Ⅰ）當a=-2時，f（x）=x²-2lnx，當x∈（1，+∞），，
故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ），當x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非負（僅當a=-2，x=1時，f'（x）=0），
故函數(shù)f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，此時[f（x）]_min=f（1）=1．
若-2e²＜a＜-2，當時，f'（x）=0；當時，f'（x）＜0，
此時f（x）是減函數(shù)；當時，f'（x）＞0，此時f（x）是增函數(shù)．
故[f（x）]_min==
若a≤-2e²，f'（x）在[1，e]上非正（僅當a=-2e²，x=e時，f'（x）=0），
故函數(shù)f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，此時[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
綜上可知，當a≥-2時，f（x）的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；
當-2e²＜a＜-2時，f（x）的最小值為，相應(yīng)的x值為；
當a≤-2e²時，f（x）的最小值為a+e²，相應(yīng)的x值為e
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．