Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）定義在R上，同時滿足：
（1）對任意x∈R，f³（x）+f³（-x）=-3f（x）f（-x）[f（x）+f（-x）]都成立；
（2）對任意x≠y，有xf（x）+yf（y）＞xf（y）+yf（x）成立；
現(xiàn)若有f（m²+6m+21）+f（n²-8n）≤0，則m²+n²的取值范圍是[9，49]．

Answer 1

分析 由條件①分解因式得f（-x）=-f（x）函數(shù)為奇函數(shù)，由條件②函數(shù)為增函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為（m+3）²+（n-4）²≤4，由幾何意義推出，點(diǎn)（m，n）在圓（m+3）²+（n-4）²=4上及圓內(nèi)，而m²+n²表示點(diǎn)（m，n）到原點(diǎn)的距離，結(jié)合幾何意義易推結(jié)果．

解答 解：由條件①對任意x∈R，f³（x）+f³（-x）=-3f（x）f（-x）[f（x）+f（-x）]都成立；
分解因式得[f（x）+f（-x）][f²（x）+f²（-x）-f（x）f（-x）]=-3f（x）f（-x）[f（x）+f（-x）]，
所以[f（x）+f（-x）][f²（x）+f²（-x）+2f（x）f（-x）]=0，
所以[f（x）+f（-x）]³=0，
所以f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），函數(shù)為奇函數(shù)；
由條件②對任意x≠y，xf（x）+yf（y）≥xf（y）+yf（x）成立，
則xf（x）+yf（y）-xf（y）-yf（x）≥成立，
所以（x-y）[f（x）-f（y）]≥0，
所以：x＞y時f（x）≥f（y）]，x＜y時f（x）≤f（y）]，
所以函數(shù)為增函數(shù)；
若f（m²+6m+21）+f（n²-8n）≤0，等價于f（m²+6m+21）≤-f（n²-8n）=f（8n-n²），
所以m²+6m+21≤8n-n²，
所以m²+n²+6m-8n+21≤0，即（m+3）²+（n-4）²≤4，
∴點(diǎn)（m，n）在圓（m+3）²+（n-4）²=4上及圓內(nèi)，而m²+n²表示點(diǎn)（m，n）到原點(diǎn)的距離，
故問題轉(zhuǎn)化為圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大與最小問題，
因?yàn)閳A心到原點(diǎn)的距離為5，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為5+2=7，到原點(diǎn)的最小距離為5-2=3，
∴m²+n²的取值范圍是[9，49]．
故答案為[9，49]．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，特別是對抽象函數(shù)的考查，等價轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵．