Question

6．已知$\overrightarrow{OA}=（{{{log}_2}cosθ}）\overrightarrow{OB}-（{{{log}_2}sinθ}）\overrightarrow{OC}$，若A，B，C共線，則sinθ+cosθ=（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• C． $-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• D． $-\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OA}=（{{{log}_2}cosθ}）\overrightarrow{OB}-（{{{log}_2}sinθ}）\overrightarrow{OC}$，A，B，C共線，可得log₂cosθ-log₂sinθ=1，化簡整理再利用平方關(guān)系即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}=（{{{log}_2}cosθ}）\overrightarrow{OB}-（{{{log}_2}sinθ}）\overrightarrow{OC}$，A，B，C共線，
∴l(xiāng)og₂cosθ-log₂sinθ=1，
化為$\frac{cosθ}{sinθ}$=2，且cosθ＞0，sinθ＞0．
解得：sinθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cosθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
則sinθ+cosθ=$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故選：B．

點評 本題考查了向量共線定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．