Question

已知x，y均為正數(shù)且x+2y=xy，則（　　）

• A、x+2y+

  9

  xy

  有最小值6
• B、x+2y+

  9

  xy

  有最小值10
• C、x+2y+

  9

  xy-7

  有最小值13
• D、x+2y+

  9

  xy-7

  有最小值17

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由x+2y=xy，得y=

x

x-2

，由x、y為正數(shù)知，x＞2，利用基本不等式可求xy的范圍，x+2y+

9

xy

=xy+

9

xy

，令t=xy，則t≥8，利用t+

9

t

的單調(diào)性可判斷A、B的正誤；x+2y+

9

xy-7

=xy-7+

9

xy-7

+7，利用基本不等式可求其最小值，判斷C、D的正誤．

解答： 解：由x+2y=xy，得y=

x

x-2

，
由x、y為正數(shù)知，x＞2，
xy=

x2

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+4≥2

(x-2)• 4 x-2

+4=8，當(dāng)且僅當(dāng)x-2=

4

x-2

，即x=4時(shí)取等號(hào)，
∴xy的范圍是[8，+∞）．
x+2y+

9

xy

=xy+

9

xy

，
令t=xy，則t≥8，t+

9

t

在[8，+∞）單調(diào)遞增，
∴t+

9

t

的最小值為8+

9

8

=

73

8

．排除A、B；
x+2y+

9

xy-7

=xy-7+

9

xy-7

+7≥2

(xy-7)• 9 xy-7

+7=13，
當(dāng)且僅當(dāng)

xy-7= 9 xy-7 x+2y=xy

，即

x=5+ 5 y= 5- 5 2

或

x=5- 5 y= 5+ 5 2

時(shí)取等號(hào)，
∴x+2y+

9

xy-7

的最小值為13，故C正確，D不正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值、函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，屬中檔題，熟記基本不等式的使用條件是解題關(guān)鍵．