Question

17．橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$）及點(diǎn)A，B在橢圓E上，且$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=m$\overrightarrow{OP}$（m∈R）．
（1）求橢圓E的方程及直線AB的斜率；
（2）當(dāng)△PAB的面積取得最大時(shí)，求△PAB的重心坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由離心率公式和點(diǎn)P滿足橢圓方程，以及a，b，c的關(guān)系，解得a²=4，b²=3，由此能求出橢圓E的方程及直線AB的斜率；
（2）設(shè)AB的方程為y=-$\frac{1}{2}$x+t，代入橢圓方程得：x²-tx+t²-3=0，求得△=3（4-t²），運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求得|AB|，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)P到直線AB的距離為d，求得S_△PAB． 由此能求出△PAB的最大值和重心坐標(biāo)．

解答 解：（1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
P在橢圓上，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，
解得a²=4，b²=3，
橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1； 
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=m$\overrightarrow{OP}$，得
（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，$\frac{3}{2}$），
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2+m}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=3+\frac{3}{2}m}\end{array}\right.$，
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{1}{3}$y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{1}{3}$y₂²=1，
兩式相減得k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{2+m}{3+\frac{3}{2}m}$=-$\frac{1}{2}$；
（2）設(shè)AB的方程為y=-$\frac{1}{2}$x+t，
代入橢圓方程得：x²-tx+t²-3=0，
x₁+x₂=t，x₁x₂=t²-3，
△=3（4-t²），|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{{t}^{2}-4（{t}^{2}-3）}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$•$\sqrt{4-{t}^{2}}$，
點(diǎn)P到直線AB的距離為d=$\frac{|4-2t|}{\sqrt{5}}$，
S_△PAB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|2-t|•$\sqrt{4-{t}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3（2-t）^{3}（2+t）}$（-2＜t＜2）． 
令f（t）=3（2-t）³（2+t），
則f’（t）=-12（2-t）²（t+1），
由f’（t）=0得t=-1或2（舍），
當(dāng)-2＜t＜-1時(shí)，f’（t）＞0，
當(dāng)-1＜t＜2時(shí)f’（t）＜0，
所以當(dāng)t=-1時(shí)，f（t）有最大值81，
即△PAB的面積的最大值是$\frac{9}{2}$；                 
根據(jù)韋達(dá)定理得x₁+x₂=t=-1，
而x₁+x₂=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，
于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+$\frac{3}{2}$=3+$\frac{3m}{2}$+$\frac{3}{2}$=0，
因此△PAB的重心坐標(biāo)為（0，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線斜率的計(jì)算，注意運(yùn)用點(diǎn)差法，考查當(dāng)△PAB的面積取得最大值時(shí)，原點(diǎn)O是△PAB的重心．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．