Question

一簡(jiǎn)單幾何體ABCDE的一個(gè)面ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC⊥平面ABC；
①證明：平面ACD⊥平面ADE；
②已知AB=2，AC=

2

，二面角C-AE-B的平面角為

π

3

，求|BE|的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：①證明ED⊥平面ACD，即可證明平面ACD⊥平面ADE；
②連結(jié)CO，過(guò)O作OG⊥AE于G，連結(jié)CG，則∠CGO=

π

3

，求出CO，AG，即可求|BE|的長(zhǎng)．

解答： ①證明：∵AB是圓O的直徑，
∴CB⊥AC，
∵DC⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴CD⊥BC，
∵CD∩AC=C，
∴CB⊥平面ACD，
∵四邊形DCBE為平行四邊形，
∴CB∥ED，
∴ED⊥平面ACD，
∵ED?平面ADE，
∴平面ACD⊥平面ADE；
②解：連結(jié)CO，過(guò)O作OG⊥AE于G，連結(jié)CG，
∵AB=2，AC=

2

，
∴CO⊥AB且CO=1，
∵CD∥BE，CD⊥平面ABC，
∴BE⊥平面ABC，
∴BE⊥CO，
∴CO⊥平面ABC，
∴∠CGO=

π

3

，
∴CO=

3

3

，
∴AG=

6

3

，
∴

OG

BE

=

AG

AB

，即

3 3

BE

=

6 3

2

，
∴|BE|=

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直，考查平面與平面所成角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．