Question

已知

m

=（cosα，sinα），

n

=（cosβ，sinβ），0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，|

m

-

n

|=

2

5

5

，求sin（α-β）．

Answer 1

分析：由兩向量的坐標表示出|

m

-

n

|，代入已知的等式，兩邊平方并利用同角三角函數間的基本關系化簡，整理后利用兩角和與差的余弦函數公式求出cos（α-β）的值，由α和β的范圍求出α-β的范圍，利用同角三角函數間的基本關系，即可求出sin（α-β）的值．

解答：解：∵

m

=（cosα，sinα），

n

=（cosβ，sinβ），|

m

-

n

|=

2

5

5

，
∴|

m

-

n

|²=

4

5

，即（cosα-cosβ）²+（sinα-sinβ）²=

4

5

，
整理得：sinαsinβ+cosαcosβ=

3

5

，
∴cos（α-β）=sinαsinβ+cosαcosβ=

3

5

，
由

0＜α＜ π 2 - π 2 ＜β＜0

，得到0＜α-β＜π，
則sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

4

5

．

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，同角三角函數間的基本關系，以及兩角和與差的余弦函數公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵，同時注意角度的范圍．