Question

20．已知函數(shù)f（x）=kx²+（2k-1）x+k，g（x）=log₂（x+k）（k∈R）
（1）若f（0）=7，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[9，+∞）上的最小值m；
（2）若0＜g（1）≤5，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值不小于（1）中的m，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=7，解方程得k=7，然后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)0＜g（1）≤5，求出k的取值范圍，利用f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值不小于（1）中的m，利用參數(shù)分類法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）若f（0）=7，則f（0）=k=7，即k=7，
則g（x）=log₂（x+7），則函數(shù)在區(qū)間[9，+∞）上單調(diào)遞減，
即函數(shù)的最小值m=g（9）=log₂（9+7）=log₂16=4．
（2）若0＜g（1）≤5，則若0＜log₂（1+k）≤5，
則1＜1+k≤32，即0＜k≤31，
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）_min≥4，
即f（x）≥4恒成立，
即kx²+（2k-1）x+k=k（x+1）²-x≥4，
∵0≤x≤2，
∴不等式等價(jià)為k≥$\frac{4+x}{（x+1）^{2}}$，
設(shè)h（x）=$\frac{4+x}{（x+1）^{2}}$，
則h′（x）=$\frac{（x+1）^{2}-（x+4）•2（x+1）}{（x+1）^{4}}$=$\frac{-（x+1）（x+7）}{（x+1）^{4}}$，
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，h′（x）＜0恒成立，
即函數(shù)h（x）在0≤x≤2上為減函數(shù)，
則當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)h（x）取得最大值h（2）=$\frac{4+2}{（2+1）^{2}}=\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$，
即$\frac{2}{3}$≤k≤31．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法以及函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是個(gè)難點(diǎn)．