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已知n是大于1的自然數(shù),求證:

(1+)(1+)(1+)…(1+)＞.

證明：假設(shè)n=k(k≥2)時(shí),原不等式成立,即(1+)(1+)(1+)…(1+)＞2k+1.

則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=(1+)(1+)(1+)…(1+)·(1+)＞·(1+)= ().

現(xiàn)在關(guān)鍵是證,直接證較繁,下面用分析法證之.

欲證,即證,只需證2k+1++2＞2k+3,即證＞0.

這顯然是成立的,故當(dāng)n=k+1時(shí),原不等式成立.

綜上,知n是大于1的自然數(shù)時(shí),原不等式成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-x（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Π）不等式f（x）＞ax的解集為P，若M={x|
1
2
≤x≤2}，且M∩P≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）已知n∈N+，且Sn=
∫
n
0
f(x)dx，是否存在等差數(shù)列an和首項(xiàng)為f（1）公比大于0的等比數(shù)列bn，使數(shù)列an+bn的前n項(xiàng)和等于Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•張掖模擬）已知{bn}是公比大于1的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=14，b1+8，3b2，b3+6成等差數(shù)列，且a1=1，an=bn•（
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn-1
）（n≥2）．
（1）求bn；
（2）證明：（1+
1
a1
）（1+
2
a2
）…（1+
n
an
）＜e3（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：甘肅省張掖市2012屆高三4月高考診斷測(cè)試數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

已知{bn}是公比大于1的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝14，b1＋8，3b2，b3＋6成等差數(shù)列，且a1＝1，an＝bn·(＋＋…＋)(n≥2)．

(1)求bn；

(2)證明：(1＋)(1＋)…(1＋)＜e3(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年湖北省高三模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷二 題型：解答題

已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）求的最小值；

（2）不等式的解集為P,   若   求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知，是否存在等差數(shù)列和首項(xiàng)為公比大于0的等比數(shù)列，使數(shù)列的前n項(xiàng)和等于

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年甘肅省張掖市高三4月診斷數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知{bn}是公比大于1的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=14，b1+8，3b2，b3+6成等差數(shù)列，且a1=1，an=bn•（）（n≥2）．
（1）求bn；
（2）證明：（1+）（1+）…（1+）＜e3（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

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