Question

已知向量，=（sinB，1-cosB），且向量與向量=（2，0）的夾角，其中A、B、C是△ABC的內(nèi)角．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA•cosC的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積求出，再求出的模，代入向量夾角的余弦值列出方程，再由平方關系化簡，求出
cosB，再由內(nèi)角的范圍求出B；
（2）由（1）和內(nèi)角和定理用A表示C，代入cosA•cosC利用兩角差的余弦公式、兩角和的正弦公式化簡，再求出A的范圍，進而求出“”的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出cosA•cosC的范圍．
解答：解：（1）由題意得，=2sinB，
||==，
∵與的夾角為，
∴=，即=，
化簡得，2sin²B=1-cosB，即2cos²B-cosB-1=0，
解得cosB=1或cosB=，
∵0＜B＜π，∴B=，
（2）由（1）得，B=，則A+C==，∴C=，
∴cosA•cosC=cosA•cos（）
=cosA（）=
=
=
=
由C=＞0得，0＜A＜，則，
∴，
則，
故cosA•cosC的取值范圍是：．
點評：本題是向量與三角函數(shù)結合的綜合題，考查了向量的數(shù)量積，兩角差的余弦公式、兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)等知識，考查運算能力．