Question

在數(shù)列 {a_n} 與 {b_n} 中，數(shù)列 {a_n} 的前n項和S_n滿足 S_n=n²+2n，數(shù)列 {b_n} 的前n項和T_n滿足 3T_n=nb_n+1，且b₁=1，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列 {a_n} 的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列 {b_n} 的通項公式；
（Ⅲ）設(shè) c_n=cos，求數(shù)列 {c_n} 的前n項和R_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，可求數(shù)列{a_n} 的通項公式；
（Ⅱ）利用數(shù)列遞推式，兩式相減，再利用疊乘法，即可求數(shù)列{b_n} 的通項公式；
（Ⅲ）確定數(shù)列的通項，分類討論，分子求和，即可求數(shù)列 {c_n} 的前n項和R_n．
解答：解：（Ⅰ）∵S_n=n²+2n，…①
∴S_n-1=（n-1）²+2（n-1），n≥2． …②
①-②得 a_n=2n+1，n≥2．   …2分
∵a₁=S₁=3 滿足上式，
∴a_n=2n+1，n∈N^*．   …4分
（Ⅱ）∵3T_n=nb_n+1，…③
∴3T_n-1=（n-1）b_n，n≥2． …④
③-④得 3b_n=nb_n+1-（n-1）b_n，即 ，n≥2．  …5分
∴，，，…，．
將以上各式連乘得，n≥2．  …7分
∵b₁=1，∴b₂=3．
∴，n≥2． …8分
∵b₁=1滿足上式，
∴，n∈N^*． …9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得 ，…10分
（1）當 n=3k （k∈N^*）時，
R_n=（c₁+c₂+c₃）+（c₄+c₅+c₆）+…+（c_3k-2+c_3k-1+c_3k）
=（--+3²）+（+6²）+…+[+（3k）²]
=++…+==．
（2）當 n=3k-1（k∈N^*）時，
R_n=-c_3k==．
（3）當 n=3k-2（k∈N^*）時，
R_n=-c_3k-1==．
綜上，R_n=（k∈N^*） …14分．
點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查疊乘法的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．