Question

已知a_n是關于x的方程xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x-1=0（x＞0，n∈N且n≥2）的根，
證明：（Ⅰ）

1

2

＜an+1＜an＜1； 
（Ⅱ）an＜(

1

2

)n+

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明

1

2

＜an＜1，可設f（x）=xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x-1，利用導數可得f（x）在R⁺上是增函數，利用零點存在定理可得結論；證明a_n+1＜a_n，利用反證法即可得到；
（Ⅱ）由（Ⅰ）1-a_n=ann+ann-1+…+an2＞(

1

2

)n+(

1

2

)n-1+…+(

1

2

)2=

1

2

-(

1

2

)n，即可得出結論．

解答：證明：（Ⅰ）設f（x）=xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x-1，則f′（x）=nx^n-1+（n-1）x^n-2+…+2x+1
顯然f′（x）＞0，∴f（x）在R⁺上是增函數．
∵f（1）=n-1＞0（n≥2），f(

1

2

)=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

-1=-(

1

2

)n＜0，
∴f（x）在(

1

2

，1)上有唯一實根，即

1

2

＜an＜1（4分）
假設a_n+1≥a_n，∴an+1k≥ank(k∈N*)
則f（a_n+1）=an+1n+1+an+1n+…+an+1-1≥an+1n+1+ann+ann-1+…+an-1＞ann+ann-1+…+an-1=f（a_n）
∵f（a_n+1）=f（a_n）=0，矛盾，故a_n+1＜a_n（8分）
（Ⅱ）∵1-an=ann+ann-1+…+an2
∴由（Ⅰ）1-a_n=ann+ann-1+…+an2＞(

1

2

)n+(

1

2

)n-1+…+(

1

2

)2=

1

2

-(

1

2

)n，
∴an＜(

1

2

)n+

1

2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查反證法，考查不等式的證明，正確運用導數是關鍵．