Question

已知a₁,a₂, …,a_n都是正實(shí)數(shù)，且a₁+a₂+…+a_n=1.

求證：≥.

Answer 1

思路分析：已知條件中a₁+a₂+…+a_n=1,可以看作“1”的代換，而要證的不等式的左側(cè)，“數(shù)式”已經(jīng)可以看出來(lái)，為, …,所以a₁+a₂+…+a_n=1.應(yīng)擴(kuò)大2倍后再利用，本題還可以利用其他的方法證明.

證法一：根據(jù)柯西不等式，得

左邊=

=［(a₁+a₂)+(a₂+a₃)+(a₃+a₄)+ …+(a_n-1+a_n)+(a_n+a₁)］×

［()²+()²

+()²+…+()²+()²］×

=［()²+()²+…+()²+()²］×［()²+()²+…+（）²+()²］×

≥［(×)+(×)+…+(×)+(×)］²×=(a₁+a₂+…+a_n)²×==右邊.

∴原不等式成立.

證法二：∵a∈R₊,則a+≥2,

a≥2-.

利用上面的結(jié)論，知

同理，有,

…

,.

以上式子相加整理，得

≥（a₁+a₂+…+a_n）=.

證法三：對(duì)于不等式左邊的第一個(gè)分式,配制輔助式k(a₁+a₂)，k為待定的正數(shù)，這里取k=,則(a₁+a₂)≥=a₁.

同理，(a₂+a₃)≥a₂.

……

(a_n-1+a_n)≥a_n-1，

(a_n+a₁)≥a_n.

以上式子相加整理，得

≥(a₁+a₂+…+a_n).

∵a₁+a₂+…+a_n=1,

∴≥.