Question

已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax²+1。
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)a＜-1，如果對(duì)任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
f′（x）=
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≤-1時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=
則當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f′（x）>0；
x∈（ ，+∞）時(shí)，f′（x）＜0
故f（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，在（ ，+∞）上單調(diào)遞減。
（2）不妨假設(shè)x₁≥x₂，而a＜-1，
由（1）知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
從而x₁，x₂∈（0，+∞），
|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|等價(jià)于x₁，x₂∈（0，+∞），f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁ ①
令g（x）=f（x）+4x，則g′（x）=+2ax+4
①等價(jià)于g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
即+2ax+4≤0在（0，+∞）上恒成立
從而a≤
故a的取值范圍為（-∞，-2]。