Question

2．在△ABC中，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，asinA-bsinB+csinC=$\sqrt{2}$asinC
（1）求角B；
（2）若A=75°，b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡已知的等式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出的關系式代入計算求出cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由A與B的度數(shù)求出C的度數(shù)，再由sinB，b及sinC的值，利用正弦定理求出c的長，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）由正弦定理化簡已知等式得：a²+c²-$\sqrt{2}$ac=b²，
由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵B為三角形的內角，
∴B=45°；
（2）∵A=75°，B=45°，
∴C=60°，
由b=2及正弦定理有：$\frac{2}{sin45°}$=$\frac{c}{sin60°}$，得到c=$\frac{2sin60°}{sin45°}$=$\sqrt{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{6}$×sin75°=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．