Question

已知函數(shù)f(x)=3^x+k(k為常數(shù))，A(-2k,2)是函數(shù)y=f^-1(x)圖象上的點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)k的值及函數(shù)f^-1(x)的解析式；

(2)將y=f^-1(x)的圖象按向量a=(3，0)平移，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，若2f^-1(x+-3)-g(x)≥1恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

解:(1)∵A(-2k,2)是函數(shù)y=f^-1(x)圖象上的點(diǎn)，

    ∴B(2,-2k)是函數(shù)y=f(x)上的點(diǎn).

    ∴-2k=3²+k.∴k=-3.

    ∴f(x)=3^x-3.

    ∴y=f^-1(x)=log₃(x+3)(x＞-3).

    (2)將y=f^-1(x)的圖象按向量a=(3,0)平移，得到函數(shù)y=g(x)=log₃x(x＞0)，要使2f^-1(x+-3)-g(x)≥1恒成立，即使2log₃(x+)-log₃x≥1恒成立，

    ∴有x++2≥3在x＞0時(shí)恒成立，只要(x++2)_min≥3.

    又x+≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=時(shí)等號(hào)成立)，

    ∴(x++2)_min=4，即4≥3.

    ∴m≥