Question

15．若直線y=kx+b是曲線y=e^x+2的切線，也是曲線y=e^x+1的切線，則b=4-2ln2．

Answer 1

分析 設(shè)直線y=kx+b與y=e^x+2和y=e^x+1的切點(diǎn)分別為$（{x_1}，\;\;{e^{x_1}}+2）$和$（{x_2}，\;\;{e^{{x_2}+1}}）$，分別求出切點(diǎn)處的直線方程，由已知切線方程，可得方程組，解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到b的值．

解答 解：設(shè)直線y=kx+b與y=e^x+2和y=e^x+1的切點(diǎn)分別為$（{x_1}，\;\;{e^{x_1}}+2）$和$（{x_2}，\;\;{e^{{x_2}+1}}）$，
則切線分別為$y-（{e^{x_1}}+2）={e^{x_1}}（x-{x_1}）$，$y-{e^{{x_2}+1}}={e^{{x_2}+1}}（x-{x_2}）$，
化簡得：$y={e^{x_1}}x+{e^{x_1}}+2-{x_1}{e^{x_1}}$，$y={e^{{x_2}+1}}x+{e^{{x_2}+1}}-{x_2}{e^{{x_2}+1}}$，
依題意有：$\left\{\begin{array}{l}{e^{x_1}}={e^{{x_2}+1}}\\{e^{x_1}}+2-{x_1}{e^{x_1}}={e^{{x_2}+1}}-{x_2}{e^{{x_2}+1}}\end{array}\right.⇒{x_1}=ln2$，
所以$b={e^{x_1}}+2-{x_1}{e^{x_1}}=4-2ln2$．
故答案為：4-2ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求得導(dǎo)數(shù)和設(shè)出切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．