Question

11．已知F，A分別為雙曲線 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點，右頂點，過F作x軸的垂線，在第一象限與雙曲線交于點P，AP的延長線與雙曲線的漸近線在第一象限交與點Q，若向量$\overrightarrow{AP}$=（2-$\sqrt{2}$）向量$\overrightarrow{AQ}$，則雙曲線的離心率是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求向各個點的坐標，結合$\overrightarrow{AP}$=（2-$\sqrt{2}$）$\overrightarrow{AQ}$，可得：（c-a）=（2-$\sqrt{2}$）（$\frac{a（c+a）}{a-b+c}$-a），進而化簡得到雙曲線的離心率．

解答 解：∵F，A分別為雙曲線 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點，右頂點，
∴F點坐標為（c，0），A（a，0），
過F作x軸的垂線，在第一象限與雙曲線交于點P，則P點坐標為（c，$\frac{^{2}}{a}$），
則AP所在直線方程為：$\frac{x-a}{c-a}=\frac{y}{\frac{^{2}}{a}}$，即y=$\frac{c+a}{a}$（x-a），
聯立雙曲線 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程y=$\frac{a}$x得：
Q點的橫坐標為$\frac{a（c+a）}{a-b+c}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=（2-$\sqrt{2}$）$\overrightarrow{AQ}$，
∴（c-a）=（2-$\sqrt{2}$）（$\frac{a（c+a）}{a-b+c}$-a）=（2-$\sqrt{2}$）$\frac{ab}{a-b+c}$，
∴b²-b（c-a）=（2-$\sqrt{2}$）ab，
∴a+b-c=（2-$\sqrt{2}$）a，
∴b=（1-$\sqrt{2}$）a+c，
∴b²=（3-2$\sqrt{2}$）a²+c²+（2-2$\sqrt{2}$）ac=c²-a²，
∴（4-2$\sqrt{2}$）a²+（2-2$\sqrt{2}$）ac=0，
∴（4-2$\sqrt{2}$）a+（2-2$\sqrt{2}$）c=0，
∴（4-2$\sqrt{2}$）a=（2$\sqrt{2}$-2）c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$

點評 本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質，向量的線性關系，難度中檔．