Question

【題目】[2018·滄州質(zhì)檢]對(duì)于橢圓，有如下性質(zhì)：若點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．利用此結(jié)論解答下列問題．點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，并且橢圓在點(diǎn)處的切線斜率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)在直線上，經(jīng)過點(diǎn)的直線，與橢圓相切，切點(diǎn)分別為，．求證：直線必經(jīng)過一定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線必經(jīng)過一定點(diǎn)

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意結(jié)合所給的知識(shí)可得橢圓在點(diǎn)處的切線斜率為，則.且.據(jù)此解方程組可得橢圓的方程為；

(Ⅱ)設(shè)，，，切線，切線.由兩條切線都經(jīng)過同一點(diǎn)可得直線的方程為.據(jù)此整理計(jì)算有.求解方程組可得直線必經(jīng)過一定點(diǎn).

試題解析：

（Ⅰ）∵橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，

其斜率為，

∴.

又點(diǎn)在橢圓上，

∴.

解得，.

∴橢圓的方程為；

（Ⅱ）設(shè)，，，

則切線，切線.

∵都經(jīng)過點(diǎn)，

∴，.

即直線的方程為.

又，

∴，

即.

令得

∴直線必經(jīng)過一定點(diǎn).