Question

12．已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$都為單位向量，其中$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2}{3}$π，則$\sqrt{1-\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$+$\sqrt{1-\overrightarrow•\overrightarrow{c}}$的取值范圍是[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$$+\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的數(shù)量積得出則$\sqrt{1-\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$+$\sqrt{1-\overrightarrow•\overrightarrow{c}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$+$\sqrt{1-cosθ}$，利用三角函數(shù)的有界性求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$都為單位向量，其中$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2}{3}$π，
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$-\frac{1}{2}$，$\overrightarrow$$•\overrightarrow{c}$=cosθ，θ∈[0，2π]，
∴則$\sqrt{1-\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$+$\sqrt{1-\overrightarrow•\overrightarrow{c}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$+$\sqrt{1-cosθ}$，
∵-1≤cosθ≤1，
∴$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$+$\sqrt{1-cosθ}$≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$$+\sqrt{2}$，
故答案為：[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$$+\sqrt{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求向量的模，屬于中檔題