Question

20．函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-1|+$\sqrt{4-{x}^{2}}$的值域[2+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 轉(zhuǎn)化為y=$\left\{\begin{array}{l}{2x+\sqrt{4-{x}^{2}}1＜x≤2}\\{2+\sqrt{4-{x}^{2}}，-1≤x≤1}\\{-2x+\sqrt{4-{x}^{2}}，-2≤x＜-1}\end{array}\right.$利用奇偶性，導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求解最值，即可求解值域．

解答 解；∵f（-x）=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|$+\sqrt{4-{x}^{2}}$=f（x）
∴f（x）是偶函數(shù)
∵函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-1|+$\sqrt{4-{x}^{2}}$，的定義域?yàn)閇-2，2]，
∴y=$\left\{\begin{array}{l}2x+\sqrt{4-{x}^{2}}，1＜x≤2\\ 2+\sqrt{4-{x}^{2}}，-1≤x≤1\\-2x+\sqrt{4-{x}^{2}}，-2≤x＜-1\end{array}\right.$，

f（x）=2+$\sqrt{4-{x}^{2}}$在[-1，0]單調(diào)遞增，[0，1]單調(diào)遞減
最小值為f（1）=2$+\sqrt{3}$，
∵y=2x$+\sqrt{4-{x}^{2}}$，1＜x≤2，
y′=2-$\frac{x}{\sqrt{4-{x}^{2}}}$，
y′=0，x²=$\frac{16}{5}$，x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
∴在[1，2]上最大值f（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）=2$\sqrt{5}$，
∴f（x）的值域?yàn)閇2+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$]，
故答案為：[2+$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$]，

點(diǎn)評 本題較復(fù)雜，運(yùn)用分段函數(shù)表示出來之后利用單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷的遞增求解最大值最小值，難度較大，考查了學(xué)生解決問題的能力，思維．