Question

2．在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，求直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（2，$\sqrt{3}$），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得普通方程，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．
（2）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），利用平方關(guān)系化為普通方程．把直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入橢圓方程可得：13t²+56t+48=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|．

解答 解：（1）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），可得：$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，
可得極坐標(biāo)方程：$\sqrt{3}ρcosθ$-ρsinθ-$\sqrt{3}$=0；
（2）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
把直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入橢圓方程可得：13t²+56t+48=0，
可得：t₁+t₂=-$\frac{56}{13}$，t₁t₂=$\frac{48}{13}$，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=$\frac{56}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與橢圓相交關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．