Question

9．已知數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ；
（1）求證：數列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}成等差數列．
（2）根據（1）的結論，求a_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+2ⁿ，兩邊同除以2ⁿ⁺¹可得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}$；
（2）根據等差數列的通項公式即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=2a_n+2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}$，
∴數列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}成等差數列，首項為$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{1}{2}$．
（2）解：根據（1）可得：${a}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n}{2}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．