Question

14．已知函數(shù)y=f（x）是定義域?yàn)镈，且f（x）同時(shí)滿足以下條件：
①f（x）在D上是單調(diào)函數(shù)；
②存在閉區(qū)間[a，b]?D（其中a＜b），使得當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的取值集合也是[a，b]．則稱函數(shù)y=f（x）（x∈D）是“合一函數(shù)”．
（1）請(qǐng)你寫出一個(gè)“合一函數(shù)”；
（2）若f（x）=$\sqrt{x+1}$+m是“合一函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（注：本題求解中涉及的函數(shù)單調(diào)性不用證明，直接指出是增函數(shù)還是減函數(shù)即可）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)新定義，寫出一個(gè)“合一函數(shù)”即可（答案不唯一）；
（2）根據(jù)f（x）的單調(diào)性以及f（x）是“合一函數(shù)”，得出$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，利用方程與函數(shù)的關(guān)系，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)題意，寫出一個(gè)“合一函數(shù)”，如y=x，x∈[0，1]；
（或y=-x，x∈[-1，1]或y=x³，x∈[-1，1]或y=-x³或x∈[-1，1]，答案不唯一）；
（2）f（x）=$\sqrt{x+1}$+m是在[-1，+∞）的增函數(shù)，
由題意知，f（x）是“合一函數(shù)”時(shí)，存在區(qū)間[a，b]，
滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{a+1}+m=a}\\{\sqrt{b+1}+m=b}\end{array}\right.$；
即a、b是方程$\sqrt{x+1}$+m=x的兩個(gè)根，
化簡(jiǎn)得a，b是方程x²-（2m+1）x+m²-1=0的兩個(gè)根，
且$\left\{\begin{array}{l}{a≥m}\\{b＞m}\end{array}\right.$；
令g（x）=x²-（2m+1）x+m²-1，
得$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（m）≥0}\\{\frac{2m+1}{2}＞m}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{5}{4}$＜m≤-1，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-$\frac{5}{4}$，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的函數(shù)與方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了構(gòu)造函數(shù)的解題方法，轉(zhuǎn)化為方程的根與函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的問(wèn)題，是綜合性題目．